不管检验多大的数都会发现,大于4的偶数总能写成两个奇素数之和，大于7的奇数总能写成三个奇素数之和。例如
6=3 3,8=5 3，
10=5 5，……，
100=97 3，102=97 5；……；
9=3 3 3，11=5 3 3,……，
99=89 7 3，101=89 7 5，……。
那么这两个结论是不是对一切这样的偶数和奇数都成立呢?1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在给欧拉的信中第一次提出了上述问题。6月30日欧拉回信说：“任何大于4的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑，认为这是完全正确的定理。”由于欧拉是当时很伟大的数学家，他的信心吸引了许多数学家试图证明它们，但直到19世纪末都没有取得任何进展，这就是著名的哥德巴赫猜想。
解决这个问题的方法，是检验每个自然数，看哥德巴赫猜想是否对每一个数都成立。但困难在于自然数有无限多个，不管已经验证了多少个，也不能下结论说下一个数还是这样。实际上,有人对直到3.3e8的所有偶数都做了验证，仍不能解决这一问题。因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。也有人把哥德巴赫猜想比作数学王冠上的明珠。
为了摘取这颗明珠，数学家们做了无数次的努力。1937年，前苏联数学家证明了每个大奇数都可以表示为三个奇数之和,这个大奇数比10的400万次方(1后面跟上400万个0)还要大，而目前已知的很大素数比这小得多。但离结论还差得很远，而且它也没证明奇数能否表示成三个奇素数之和。因此，数学家采用分步走的办法，先证明一个类似于哥德巴赫猜想的问题，即先证明任何大于4的正整数，都能表示为c个素数之和(c是某个常数)。沿着这条路，数学家们先后证明了：
c≤800000(1930年),
c≤2208(1935年),
c≤71(1936年),
c≤67(1937年)，
c≤20(1950年)，
1956年中国的尹文霖证明了c≤18。
用更复杂的数学工具,1937年前苏联数学家证明对足够大的偶数,c≤4，哥德巴赫的问题相当于c=2。但由4到2的证明是相当困难的,显然这条路也并不完全畅通。
与此同时，数学家们还在试走另外一条路。即证明每个大偶数可以表示为：一个素因数的个数不超过a个的数与一个素因数的个数不超过b个的数之和。这一命题叫做(a b)。这样，哥德巴赫猜想基本上就是要证明(1 1)是正确的。
1920年，挪威数学家布朗首先证明了(9 9),此后这方面的工作不断取得进展。
1957年，我国数学家王元证明了(2 3)。
1962年，中国数学家潘承洞证明了(1 5),同年又和王元合作证明了
(1 4)。后来又有人证明了(1 3)。
1966年，中国数学家陈景润证明了(1 2),并于1973年发表，立即轰动了国际数学界。一位英国数学家称陈景润移动了“群山”。
尽管由(1 2)到(1 1)只有一步之遥了，但这一步却有难以想象的艰难。有许多数学家认为，要想证明(1 1)，很可能必须创造新的方法,以往的路都是走不通的。
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