1、2、3、……，这些人人熟悉而又简单的自然数,有着许多奇妙有趣的性质。
图中左下角是一个小正方形，由此开始，第一层虚线标出了三个小正方形，第二层虚线标出了五个小正方形……，它说明了下面一些有趣的事实：
1＝1＝1×1
1＋3＝4＝2×2
1＋3＋5＝9＝3×3......
……
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64＝8×8
一般地，如果n是一个自然数，则：1＋3＋5＋…… (2n1)＝n×n。
对于所有的自然数，下面的式子也是正确的：
1×1×1＝1×1，
(1×1×1)＋(2×2×2)＝1＋8＝9＝（1＋2）×（1＋2）
再来看6174这个数。把它的各位数字从大到小写一遍，再从小到大写一遍，然后相减：76411467=6174。结果竟与原数6174一样。有趣的是，如果随便取一个四位数，只要它的四个数字不全相同，按上述方法对它处理，并重复多次，很终都将得到6174这个数。比如0923：
93200239=9081，
98100189=9621，
96211269=8352，
85322358=6174。
对随便一个六位数按上述方法计算，会得到3种结果：(1)631764的重复；(2)549945的重复；(3)下列七个数的循环：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
对八位数也有类似的结果，其中一个关键的数是63317664；对十位数来说，关键的数是6333176664，从四位数到十位数，用上述方法处理的结果，都与6174这个数有关。
1930年，意大利的杜西教授作了如下的观察：
在一个圆周上放上任意四个数，例如：8，43，17，29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内必然会出现四个相等的数。科学家还证明，如果四个数中很大的是n，则在重复4n1步时，四个差数将相同。
三位数也有奇妙的性质。
任取一个三位数，将各位数字倒着排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：
195 591=786
786 687=1473
1473 3741=5214
5214 4125=9339
只用四步就得到了上述结果。这个结果称为回文数，也称对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数，其中很小的数是196，它在被试验到5万步，达到21000位时，仍没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远也产生不出一个回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。于是196问题，成了世界性的难题。
专门研究数的各种性质的数学分支，叫做数论，其中有许多既有趣又困难的问题，科学家们正努力加以解决。
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