常识和科学都告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；同样，假如说某个论断是错误的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出正确的结论。
数学作为建筑在逻辑推理基础上的科学，总是严密的、可靠的。像几何学，就是从几条公理出发，推演出一整套严密的科学体系，其中任何一条定律，在条件满足时总是正确的。例如，平面上的两条直线，要么相交，要么平行。这个论断是正确的，因为平面上不可能有两条既不平行也不相交的直线。再如，不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，只有两个点就不行。无论任何人都不可能在某种条件下，仅用两个点或者用任意三点就可决定一个平面。
但是，早在2000多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾:用公认的正确的推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。到底哪个正确哪个错误，使人们难以判断。
这种情况看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。这种现象科学家称为“悖论”。“悖”就是相违背、谬误或混乱的意思。千百年来，科学家一再发现这样的悖论。
今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家作出了一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。
悖论还反映了严密的数学科学并不是铁板一块，它的数学概念、原理之中也存在许多矛盾。
数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在，还告诉人们，在学习与研究数学时，必须牢记住古希腊数学家的名言：要怀疑一切，只有这样才能有所发现。
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