素数是只能被1和它本身整除的自然数，如：2，3，5，7，11等等,也称为质数。如果一个自然数不仅能被1和它本身整除,还能被别的自然数整除，就叫合数(复合数)。1既不是素数,也不是合数。全体自然数可分为三类：1、素数、合数。而每个合数都可以表示成一些素数的乘积,因此素数可说是构成整个自然数大厦的砖瓦。
在自然数数列中，究竟哪些是素数呢？公元前300多年，希腊学者埃拉托色尼提出了一种方法，他在一张纸上写上自然数列的数字，把它贴在一个柜子上，然后把其中的合数一个一个地挖去，得到一个有许多小孔的像筛子一样的东西，所有的合数都好像被筛子筛去了一样。埃拉托色尼是怎样筛法呢？他若造一张1到50的素数表，首先写上1到50的所有自然数，然后先划去1，把2留下，再划去其他所有2的倍数，把3留下。再划去其他所有3的倍数，把5留下。又划去其他所有5的倍数……以此类推，可以得到50以内的所有素数。这就是著名的素数筛选法。
按照埃拉托色尼的筛法，会不会划到很后都是合数呢？也就是素数的个数是不是有限的呢？约公元前275年，希腊著名的数学家欧几里德用巧妙的方法证明了素数的个数是无限的。
许多素数具有迷人的形式和性质。例如：
逆素数：顺着读与逆着读都是素数的数。如1949与9491，3011与1103，1453与3541等。无重逆素数，是数字都不重复的逆素数。如13与31，17与71，37与73，79与97，107与701等。
循环下降素数与循环上升素数,按1～9这9个数码反序或正序相连而成的素数(9和1相接)。如：43，1987，76543，23，23456789，1234567891。现在找到的很大一个是28位的数：1234567891234567891234567891。
由一些特殊数码组成的数：如31，331，3331，33331，333331，3333331，以及33333331都是素数,但下一个333333331=17×19607843却是一个合数。特别著名的是全由1组成的素数。把由连续n个1组成的数记为Rn,则R2=11是一个素数，后来又发现R19,R23,R317都是素数。
素数研究是数论中很古老、也是很基本的部分，其中集中了看上去极为简单、却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。除了“哥德巴赫猜想”等几个著名问题外，下面列出的问题也至今未获解决。
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